пятница, 16 октября 2015 г.

ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОГО ЭТАПА ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ в 2015/2016 учебном году

7 класс

1.  В пенале лежит 10 ручек. Известно, что по крайней мере одна из ручек красная. Также известно, что если из пенала взять любые две ручки, то среди них обязательно будет синяя. Сколько красных ручек может быть в пенале? Ответ обоснуйте.
2.  Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны 20.
3.  Разрежьте квадрат 3×3 на две части и квадрат 4×4 на две части так, чтобы из полученных четырех кусков можно было сложить квадрат.
4.  Три ученика А, В и С участвовали в беге на 100 метров. Когда А прибежал к финишу, В был позади него на 10 метров, когда В финишировал, С был позади него на 10 метров. На сколько метров на финише А опередил С? Ответ обоснуйте.
5.  Из произведения всех натуральных чисел от 99 до 3388 включительно вычеркнули все числа, делящиеся на 5. Какой цифрой будет оканчиваться произведение оставшихся чисел? Ответ обоснуйте.

8 класс

1.  Петя считает пальцы на левой руке от большого пальца до мизинца и обратно от мизинца до большого. Каждый следующий счет приходится на другой палец. На какой палец придется число 2015? Ответ обоснуйте. (Счет: 1 - большой, 2 - указательный, 3 - средний, 4- безымянный, 5 - мизинец, 6 - безымянный, 7 - средний и т. д.)
2.  Докажите, что если a+2b=3c и b+2c=3a, то c+2a=3b.
3.  Найдите какое-нибудь натуральное число, произведение цифр которого на 60 больше суммы его цифр.
4.  Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
5.  У звезды ACEBD (см. рисунок) равные углы при вершинах А и В, углы при вершинах Е и С, а также равные длины отрезков АС и ЕВ. Докажите, что АD = BD.