среда, 4 мая 2016 г.

Задача по стереометрии из сборника заданий по математике ЕГЭ-профильный уровень, 2016

     Это задача из 9 варианта сборника типовых экзаменационных заданий по математике под редакцией И.В. Ященко. В варианте 10 №14 похожая задача, как и много других, где перекликаются одинаковые идеи.
    Решение
а) Построим прямую пересечения плоскостей АВ1Д и АВС
 1. Продлим В1Д и АС1 (рисунок1)
  2. Точка пересечения этих прямых - точка М принадлежит как плоскости АВС1 (нижней грани), так и плоскости сечения АВ1Д, тоже можно сказать про точку А, значит искомые плоскости  пересекаются по прямой АМ (рисунок 2)
б) Найдём угол между плоскостями АВС1 и АВ1Д
  1. Построим линейный угол данного двугранного угла с ребром АМ
       Из точки В проведём перпендикуляр к прямой  АМ, обозначим ВN.
       В1N принадлежит плоскости сечения, по теореме о трёх перпендикулярах  В1N перпендикулярна АМ (ВВ1 перпендикуляр к плоскости  АВС1, В1N - наклонная , ВN - проекция, АМ прямая, проходящая через основание наклонной)
Тогда по определению угол ВNB1 - линейный угол данного двугранного угла (рисунок 3)
2. Из прямоугольного треугольника BNB1 найдём тангенс угла BNB1.
   По условию ВВ1=2, BN - высота  треугольника АВМ, тогда ВN=2*S/AM, где S - площадь треугольника АВМ  
  Необходимо найти ВМ и АМ треугольника АВМ
  Найдём ВМ из треугольника ВВ1М ( рисунок 4)

Изображённые треугольники подобны, тогда составим пропорцию
ВВ1/ДС1=ВМ/МС1 или 2/1=(5+x)/x, решаем и получаем х=5, тогда ВМ=10
АМ треугольника АВМ найдём, используя теорему косинусов
АМ2=АВ2+ВМ2-2*АВ*ВМ*СOS(60)
АМ=5*V3 (здесь V3 -корень квадратный из 3)
Итак, ВN=2*S/AM=2*1/2*АВ*ВМ*SIN(60)/5*V3=5

тангенс угла BNB1 = BB1/BN=2/5
ОТВЕТ: argtg(2/5)