21 февраля 2021
25 декабря 2020
24 декабря 2020
Задачи на совместную работу
12 октября 2020
Олимпиада по математике. Задания для 9 класса
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ. 2019-2020 ГГ.
МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП.
9-Й КЛАСС
№1. Существуют ли
такие натуральные числа х и у,
что выполняется условие
х^2+y^2=x^3-y^3?
Решение:
х2+у2=(х-у)(х2+ху+у2).
Т.к. х больше у, то правая часть больше х2+у2.
Значит
нет таких натуральных чисел.
№2. Внуки
рассказали деду историю: «Папа, мама, две дочки и два сына собирали яблоки. У
всех оказалось различное количество яблок. Затем посчитали рейтинги троек.
Рейтингом назовём сумму яблок, собранных одним из родителей с двумя детьми
одного пола. Среди четырёх рейтингов два оказались равными, а два других отличались
на единицу друг от друга».
Дед задумался и сказал: «Такого быть не могло!». Прав ли
дед?
Решение:
Пусть
папа, мама, сыновья и дочери собрали соответственно х, у, а, b,
m
и n
яблок.
Тогда возможны варианты:
1 случай. х+(а+b)
= х+(m+n) и у+(a+b) = y+(m+n)+1.
Отсюда: a+b=m+n и a+b=m+n+1,
что невозможно.
2 случай. х+(a+b) = y+(m+n) и x+(m+n) = y+(a+b)+1.
Отсюда: 2х=2у+1, что невозможно.
Ответ:
дед прав.
№3. Доказать, что
один из корней уравнения bx+c-ax^2=0 больше 1, а другой
меньше 1, где a, b и c – длины
сторон треугольника.
Решение:
Рассмотрим функцию f(x)= - ax2+bx+c.
f(1)= - a+b+c=(b+c)-a>0, f(-1)= - a-b+c=c-(a+b)<0.
Значит, один из
корней принадлежит интервалу (-1;1), а т.к. ветви вниз, то второй корень больше
1.
№4. Вне
параллелограмма ABCD
взята точка Е так, что DE
и АС параллельны, углы ВЕС и CED
равны. Угол BCD – тупой. Доказать, что прямые ЕС и ВС перпендикулярны.
Решение: продлить прямую ВС до пересечения
с прямой ED в точке K. ACKD – параллелограмм, поэтому ВС=AD=СК. Значит биссектриса ЕС
является медианой, а, следовательно, и высотой треугольника ВЕК.
№5. В математический
кружок приняли только часть учеников из девятого класса, причём число процентов
не принятых в кружок учеников, оказалось равно числу учеников в кружке. Какое
наименьшее число учеников могло быть в девятом классе?
Ответ: 25.
15 сентября 2020
Сегодня на уроке алгебры работаем с сервисом Skysmart. Выполняем работу, используя ссылку
олимпиадные задачи
№1
В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .
Ответ: 1.
Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;
XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD — AY — XD = 11 — 5 — 5 = 1.
№2
В треугольнике ABC провели медиану AM. Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45° и 30° соответственно.
Ответ: 135°.
Решение. Пусть BH — высота треугольника ABC. По условию угол BAC равен 45°, поэтому BH = AH. В треугольнике CBH катет BH лежит против угла 30°, поэтому BC = 2BH. Медиана HM прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC.
Собирая все равенства отрезков воедино, получаем
AH = BH = HM = MB = MC.
Значит, треугольник MBH равносторонний, и угол CMH равен 120°. Кроме того, треугольник AHM равнобедренный, его угол AHM равен 90° + 60° = 150°, поэтому угол AMH равен 15°. Таким образом,
∠AMC = ∠AMH + ∠HMC = 120° + 15° = 135°
Загадка №2
Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984!,? (Примечание: 1984! = 1 • 2 • 3 • … • 1984).
Загадка №3
Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число A хорошее, то и число A + 6 тоже хорошее, а если число B плохое, то и число B + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?
ОТВЕТЫ загадок:
Загадка 2
Среди чисел от 1 до 1984 существует 992 четных. Каждое из них дает по крайней мере одну двойку в разложение на простые множители числа 1984!,. Две двойки в это разложение дадут числа, делящиеся на 4 (их всего 496). Далее, по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 двоек соответственно дадут 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 и 1 чисел делящихся на 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024 соответственно. Сложив полученные числа, мы и получим искомую степень: 992 + 496 + 248 + 124 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 1979.
Загадка 3
Докажем, что числа C и C + 3 являются одновременно либо хорошими, либо плохими при любом значении C. Предположим для этого, что число C — хорошее, а C + 3 — плохое. Тогда с одной стороны, число C + 18 = (C + 3) + 15 должно быть хорошим, а с другой стороны, это же число C + 18 = ((C + 6) + 6) + 6 должно быть плохим. Если же предположить, что число C — плохое, а C + 3 — хорошее, то число C + 15 = ((C + 3) + 6) + 6 должно быть одновременно и плохим и хорошим. Полученное в обоих случаях противоречие доказывает, что числа C и C + 3 всегда принадлежат одному классу. Из этого следует, что любой класс вычетов по модулю 3 (см. Т5) является либо целиком хорошим, либо целиком плохим.
Среди первых 2000 чисел каждый такой класс содержит 666 или 667 чисел. Любой класс содержит меньше 1000 чисел, а любые два класса — больше 1000 чисел. Поэтому ровно 1000 хороших чисел быть не может.
Задача №1
Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?
Задача №2
Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.
Задача №3
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Задача №4
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Ответы
Задача 1
Можно. Например, 2/7=1/4+1/28.
Задача 2
Ученик выполнит 1\2 часть задания
Задача 3
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
Задача 4
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – x монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – x) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005 = 101 × 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.
Олимпиадные задачи по геометрии
1. В четырехугольнике АВСD проведены диагонали ВD и АС, пересекающиеся в точке О. При этом ВО=ОD=АО, АВD= АСD. Докажите, что АВСD - прямоугольник.
2. Пусть АМ медиана треугольника АВС, точка Р середина медианы АМ. И пусть луч ВР пересекает сторону АС в точке N. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что NР- биссектриса угла АNМ и ВАС = NМС.
3. В треугольнике АВС биссектриса AD угла А в точке своего пересечения с медианой угла В делит ее пополам, при этом АD=DС. Найдите углы треугольника АВС.
2 октября 2019
Указания к решению олимпиадных задач, опубликованных 30 ноября
Задача 2
Неизвестное двузначное число представим аb=10*а+b, где а - количество десятков, эта цифра может принимать значения от 1 до 9, b -количество единиц данного двузначного числа и может эта цифра принимать значения от 0 до 9. Из условия задачи получаем уравнение
10*a+b=2*a*b
Задача 3
Натуральное число кратно 10, если число оканчивается 0. Поэтому, чтоб число оканчивалось 0, надо чтоб последняя цифра степеней была одинаковой. Выясним закономерность - при какой степени какая цифра стоит в разряде единиц:
1 степень (43 в 43) - 3 (17 в 17) - 7
2 степень (43 в 43) - 9 (17 в 17) - 9
3 степень (43 в 43) - 7 (17 в 17) - 3
4 степень (43 в 43) - 1 (17 в 17) - 1
5 степень (43 в 43) - 3 (17 в 17) - 7
6 степень (43 в 43) - 9 (17 в 17) - 9
7 степень (43 в 43) - 7 (17 в 17) - 3
8 степень (43 в 43) - 1 (17 в 17) - 1
9 степень (43 в 43) - 3 (17 в 17) - 7
10 степень (43 в 43) - 9 (17 в 17) - 9
11 степень (43 в 43) - 7 (17 в 17) - 3
12 степень (43 в 43) - 1 (17 в 17) - 1 ...
Задача 5
Задача 6
Чтобы решить данную задачу, учтите данную закономерность:
31 октября 2019
Задания школьного
этапа всероссийской олимпиады школьников
олимпиадные задачи
№1
В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .
Ответ: 1.
Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;
XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD — AY — XD = 11 — 5 — 5 = 1.
№2
В треугольнике ABC провели медиану AM. Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45° и 30° соответственно.
Ответ: 135°.
Решение. Пусть BH — высота треугольника ABC. По условию угол BAC равен 45°, поэтому BH = AH. В треугольнике CBH катет BH лежит против угла 30°, поэтому BC = 2BH. Медиана HM прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC.
Собирая все равенства отрезков воедино, получаем
AH = BH = HM = MB = MC.
Значит, треугольник MBH равносторонний, и угол CMH равен 120°. Кроме того, треугольник AHM равнобедренный, его угол AHM равен 90° + 60° = 150°, поэтому угол AMH равен 15°. Таким образом,
∠AMC = ∠AMH + ∠HMC = 120° + 15° = 135°
Загадка №2
Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984!,? (Примечание: 1984! = 1 • 2 • 3 • … • 1984).
Загадка №3
Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число A хорошее, то и число A + 6 тоже хорошее, а если число B плохое, то и число B + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?
Загадка 2
Среди чисел от 1 до 1984 существует 992 четных. Каждое из них дает по крайней мере одну двойку в разложение на простые множители числа 1984!,. Две двойки в это разложение дадут числа, делящиеся на 4 (их всего 496). Далее, по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 двоек соответственно дадут 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 и 1 чисел делящихся на 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024 соответственно. Сложив полученные числа, мы и получим искомую степень: 992 + 496 + 248 + 124 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 1979.
Среди чисел от 1 до 1984 существует 992 четных. Каждое из них дает по крайней мере одну двойку в разложение на простые множители числа 1984!,. Две двойки в это разложение дадут числа, делящиеся на 4 (их всего 496). Далее, по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 двоек соответственно дадут 248, 124, 62, 31, 15, 7, 3 и 1 чисел делящихся на 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024 соответственно. Сложив полученные числа, мы и получим искомую степень: 992 + 496 + 248 + 124 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 1979.
Загадка 3
Докажем, что числа C и C + 3 являются одновременно либо хорошими, либо плохими при любом значении C. Предположим для этого, что число C — хорошее, а C + 3 — плохое. Тогда с одной стороны, число C + 18 = (C + 3) + 15 должно быть хорошим, а с другой стороны, это же число C + 18 = ((C + 6) + 6) + 6 должно быть плохим. Если же предположить, что число C — плохое, а C + 3 — хорошее, то число C + 15 = ((C + 3) + 6) + 6 должно быть одновременно и плохим и хорошим. Полученное в обоих случаях противоречие доказывает, что числа C и C + 3 всегда принадлежат одному классу. Из этого следует, что любой класс вычетов по модулю 3 (см. Т5) является либо целиком хорошим, либо целиком плохим.
Среди первых 2000 чисел каждый такой класс содержит 666 или 667 чисел. Любой класс содержит меньше 1000 чисел, а любые два класса — больше 1000 чисел. Поэтому ровно 1000 хороших чисел быть не может.
Задача №1
Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?
Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?
Задача №2
Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.
Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 2 раза выше производительности ученика. Получив такое же задание, и, работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря.
Задача №3
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Задача №4
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Ответы
Задача 1
Можно. Например, 2/7=1/4+1/28.
Можно. Например, 2/7=1/4+1/28.
Задача 2
Ученик выполнит 1\2 часть задания
Ученик выполнит 1\2 часть задания
Задача 3
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
Задача 4
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – x монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – x) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005 = 101 × 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – x монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – x) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005 = 101 × 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.
Олимпиадные задачи по геометрии
1. В четырехугольнике АВСD проведены диагонали ВD и АС, пересекающиеся в точке О. При этом ВО=ОD=АО, АВD= АСD. Докажите, что АВСD - прямоугольник.
2. Пусть АМ медиана треугольника АВС, точка Р середина медианы АМ. И пусть луч ВР пересекает сторону АС в точке N. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что NР- биссектриса угла АNМ и ВАС = NМС.
3. В треугольнике АВС биссектриса AD угла А в точке своего пересечения с медианой угла В делит ее пополам, при этом АD=DС. Найдите углы треугольника АВС.
2 октября 2019
Указания к решению олимпиадных задач, опубликованных 30 ноября
Задача 2
Неизвестное двузначное число представим аb=10*а+b, где а - количество десятков, эта цифра может принимать значения от 1 до 9, b -количество единиц данного двузначного числа и может эта цифра принимать значения от 0 до 9. Из условия задачи получаем уравнение
10*a+b=2*a*b
Задача 3
Натуральное число кратно 10, если число оканчивается 0. Поэтому, чтоб число оканчивалось 0, надо чтоб последняя цифра степеней была одинаковой. Выясним закономерность - при какой степени какая цифра стоит в разряде единиц:
1 степень (43 в 43) - 3 (17 в 17) - 7
2 степень (43 в 43) - 9 (17 в 17) - 9
3 степень (43 в 43) - 7 (17 в 17) - 3
4 степень (43 в 43) - 1 (17 в 17) - 1
5 степень (43 в 43) - 3 (17 в 17) - 7
6 степень (43 в 43) - 9 (17 в 17) - 9
7 степень (43 в 43) - 7 (17 в 17) - 3
8 степень (43 в 43) - 1 (17 в 17) - 1
9 степень (43 в 43) - 3 (17 в 17) - 7
10 степень (43 в 43) - 9 (17 в 17) - 9
11 степень (43 в 43) - 7 (17 в 17) - 3
12 степень (43 в 43) - 1 (17 в 17) - 1 ...
Задача 5
Задача 6
Чтобы решить данную задачу, учтите данную закономерность:
Задача 5
Чтобы решить данную задачу, учтите данную закономерность:
31 октября 2019
Задания школьного
этапа всероссийской олимпиады школьников
Для учащихся 8 класс по предмету математика.
Задание
1 (5 баллов)
Средний возраст одиннадцати футболистов – 22 года. Во время игры
один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся
игроков стал 21 год. Каков возраст футболиста, ушедшего с поля?
Задание
2 (5 баллов)
В треугольнике АВС проведены биссектрисы углов А и В, угол между
которыми составил 125°. Найдите угол С.
Задание
3 ( 7 баллов)
Постройте график функции
У = +
Пояснение: знаменатель первой дроби равен х2 - 25
Задание
4 (8 баллов)
Запишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В. Точки А
и В – это точки, симметричные относительно осей абсцисс и ординат точке С.
Точка С принадлежит прямой у = 0,5х – 1 и имеет ординату -1.
Задание
5 (10 баллов)
При каких натуральных значениях п выражение (п2 + 5п - 8)/(п + 3) является целым числом?
28 октября 2019
4 апреля
28 февраля 2019
Упражнения по формулам сокращённого умножения
https://akimovka-shkola.blogspot.com/p/blog-page_18.html - смотрите сообщение от 30 сентября 2018
20 декабря
Примерная кр
28 ноября
Примерная контрольная работа
1 вариант
1). Функция
задана формулой у = 2х + 3.
Принадлежит ли
графику функции точки А(1; 5) и В(–1; – 1)?
2). Постройте график функции у =
2х + 6.
а). Укажите точки
пересечения графика с осями координат.
б). Укажите с
помощью графика, чему равно значение у
при х = 1,5
3). График
функции у = kх проходит через точку А( -2; 4). Найти угловой коэффициент k и построить график этой функции.
4). Найти точку
пересечения графиков функций у = 3 и у = 2х – 1.
5). Запишите
уравнение прямой, параллельной графику функции у = –
7х – 15 и проходящей через начало
координат.
|
2 вариант
1). Функция
задана формулой у = –2х + 5.
Принадлежит ли
графику функции точки А(1; 3) и В(–1; 6)?
2). Постройте график функции у =
– 2 х + 6 .
а). Укажите точки
пересечения графика с осями координат.
б). Укажите с
помощью графика, при каком значении х
значение у равно – 2 .
3). График
функции у = kх проходит через точку А( 2; -6 ). Найти угловой коэффициент k и построить график этой функции.
4). Найти точку
пересечения графиков функций у = –1 и у = 3х +2.
5). Запишите
уравнение прямой, параллельной графику функции у =
8х + 13 и проходящей через начало
координат.
|
24 ноября 2018
15 ноября 2015
Ссылки на интерактивные упражнения
http://LearningApps.org/1630002 - допустимые значения переменных для буквенных выраженийhttp://learningapps.org/1669202 - решение уравнений
31 октября 2015
Решение линейных уравнений. Интерактивное упражнение
Олимпиада, муниципальный этап, 7 класс
